Préambule : On distingue en Mathématique quatre grandes ensembles d'entiers qu'on va les définir Une a une pour faire la distinction entre elles
Définition : Entiers Naturels
Chaque nombre entier non négatif et non décimal est appelé entier Naturel
exemple : la série des nombres simples de comptage qu'on utilise 1, 2 , 3 , 4 ......................Sont des entiers Naturels
Définition : Entiers Relatifs
Les entiers Naturels qu'on a vu dans notre première définition deviennent des Entiers Relatifs lorsqu'ils sont associés à des signes que se soit lesdits signes sont positifs ou Négatifs
Exemple : -1 , -2, +3, -5 , +6 ................... Etc
Définition des Nombres Décimaux
Un nombre Décimal est un nombre qui comporte une virgule et qui est généralement le produit d'un entier et d'une puissance de dix (10)
Exemple : 8,56 = 856 x 1/10² Ou 856 X 10-²
Définition des Nombres Rationnels
Un nombre rationnel est le nombre qui peut s'écrire sous forme de quotient de deux entiers Naturels
exemple : 2,5 = 25/10 ; 8,5 = 85/10
Cependant il convient de noter que certains Rationnels ne constituent pas des décimaux dans le sens ou on ne peut pas l'ecrire sous la forme suivante : N,nn = Nnn/10Puissance (n) exemple : 2/3 n'est pas un Nombre décimal en effet : 2/3 = 0,66666666666666....................................................666
elle ne peut pas s'écrire 2/3 = 0,66666666666......666....n /10 puissance (n) car il n'est pas un nombre fini et enfin de compte 0.66666666 n'est pas égale au quotient 2/3
1) Diviseurs et multiples
2) Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par
3) Nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Rappel : 2 entiers naturels sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1
4) Test de primalité :
Pour savoir si un entier naturel n est premier, on peut tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs à n dont le carré est inférieur ou égal à n.
Si aucun de ces nombres premiers ne divise n, alors n est premier;
sinon n n'est pas premier.
5) Le Plus Grand Commun Diviseur = PGCD
Le PGCD de deux nombres est leur plus grand Commun diviseur entre ces deux nombres.
6) Le Plus Petit Commun Multiple = PPCM
Le PPCM de deux Nombres est leur diviseur commun le plus petit.
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Leur Plus Grand Commun Diviseur est = 2² x 5 = 20
Définition : Entiers Naturels
Chaque nombre entier non négatif et non décimal est appelé entier Naturel
exemple : la série des nombres simples de comptage qu'on utilise 1, 2 , 3 , 4 ......................Sont des entiers Naturels
Définition : Entiers Relatifs
Les entiers Naturels qu'on a vu dans notre première définition deviennent des Entiers Relatifs lorsqu'ils sont associés à des signes que se soit lesdits signes sont positifs ou Négatifs
Exemple : -1 , -2, +3, -5 , +6 ................... Etc
Définition des Nombres Décimaux
Un nombre Décimal est un nombre qui comporte une virgule et qui est généralement le produit d'un entier et d'une puissance de dix (10)
Exemple : 8,56 = 856 x 1/10² Ou 856 X 10-²
Définition des Nombres Rationnels
Un nombre rationnel est le nombre qui peut s'écrire sous forme de quotient de deux entiers Naturels
exemple : 2,5 = 25/10 ; 8,5 = 85/10
Cependant il convient de noter que certains Rationnels ne constituent pas des décimaux dans le sens ou on ne peut pas l'ecrire sous la forme suivante : N,nn = Nnn/10Puissance (n) exemple : 2/3 n'est pas un Nombre décimal en effet : 2/3 = 0,66666666666666....................................................666
elle ne peut pas s'écrire 2/3 = 0,66666666666......666....n /10 puissance (n) car il n'est pas un nombre fini et enfin de compte 0.66666666 n'est pas égale au quotient 2/3
Nombres premiers, multiples, diviseurs
1) Diviseurs et multiples
Définitions : Si a est un entier naturel qui s'écrit sous la forme d'un produit de deux entiers naturels non nuls : a = b*c
On dit :
- soit que a est un multiple de b et a est un multiple de c
- soit que a est divisible par b et a est divisible par c
- soit que b est un diviseur de a et c est un diviseur de a
- soit que a est divisible par b et a est divisible par c
- soit que b est un diviseur de a et c est un diviseur de a
Exemple : 8 = 2 x 4 Alors 8 est Multiple soit de 2 ou bien de 4
Un nombre est divisible par
2 : si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, ou 8.
3 : si la somme des chiffres est un multiple de 3.
5 : si le dernier chiffre est 0 ou 5.
9 : si la somme des chiffres est un multiple de 9.
10 : si le dernier chiffre est 0.
Définition : Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Pour savoir si un entier naturel n est premier, on peut tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs à n dont le carré est inférieur ou égal à n.
Si aucun de ces nombres premiers ne divise n, alors n est premier;
5) Le Plus Grand Commun Diviseur = PGCD
Le PGCD de deux nombres est leur plus grand Commun diviseur entre ces deux nombres.
6) Le Plus Petit Commun Multiple = PPCM
Le PPCM de deux Nombres est leur diviseur commun le plus petit.
Exemple 1 :
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
Exemple 2 :
| 400 | 2 |
| 200 | 2 |
| 100 | 2 |
| 50 | 2 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 | |
| 2² X 2² X5² |
Leur Plus Grand Commun Diviseur est = 2² x 5 = 20
Alors que leur PPCM est = 2² x2²x5² x 3² = 3600
Exemple 2 :
Cherchez le PGCD et le PPCM de l'expression x(x-1)² et de : x3 - x2
1/ on doit Factoriser les termes pour aboutir a des expressions communes
la première reste x (x-1)²
la deuxième x²(x-1)
lorsqu'on est en présence d'une addition ou une soustraction de deux fractions et si cette opération n'est pas visible on doit recourir a la détermination des PGCD de chaque fraction Numérateur et dénominateur
Ici les choses sont visibles c'est a dire pour la deuxième fraction on doit voir si on peut diviser 20 par deux et c'est divisible heureusement et aussi le numérateur donc On aura : 39 + 16/2 <==>
10 20/2
Généralité:
Tout Nombre premier autre que 2 est un Nombre Impaire.
Exemple : 3 est un Nombre premier
5 est un Nombre premier
7 est un Nombre Premier
Exercice d'application 1
a = 225
b= 60
Tout Calculs faits 225 = 3² x 5²
et 60 = 2² x 3 x 5
PGCD (a , b ) = 3 x 5 = 15
PPCM (a , b) = 3² x 5² x 2² = 900
Si on a les éléments a et b sous forme de fraction tel que a donc 225 : 15 = 15
b 60 : 15 4
Exercice d'application 2
a = 315 b = 294
après Développement
315 = 3² x 5 x 7 et 294 = 2 x 3 x 7²
PGCD ( 315 , 294 ) = 3 x 7 = 21
PPCM (315 , 294 ) = 3² x 5 x 7² x 2 = 4410
Exemple 2 :
Cherchez le PGCD et le PPCM de l'expression x(x-1)² et de : x3 - x2
1/ on doit Factoriser les termes pour aboutir a des expressions communes
la première reste x (x-1)²
la deuxième x²(x-1)
PGCD = { x (x-1)² ; x3 - x2 } = x(x-1)
PPCM = { x (x-1)² ; x3 - x2 } = x²(x-1)²
Nombres Rationnels
Les Nombres rationnels sont données sous forme de fractions (Numérateur & Dénominateur) et comme rappel on sait tous que les fractions pour etre additionnées ou déduites les uns des autres
il faut qu'ils soient réduites au meme dénominateur.
donc a Chaque fois que nous avons une addition ou une soustraction des nombres rationnels nous avons intéret a décomposer les numérateurs et les dénominateurs pour aboutir soit a leur PGCD
pour réduire cette fraction en une fraction irréductible sinon faire le PPCM entre les dénominateurs
pour les réduire en conséquence.
Exemple :
624 PGCD Numérateur & Dénominateur = 16 ===> 624/16 = 39
160 160/16 10
s'il Nous a été demandé d'additionner notre précédente fraction a la fraction suivante : 16
20
on aura alors 624 + 16
160 20
Une partie du travail est déjà faite : 624/160 c'est réduit et on a comme résultat 39/10
Donc on aura 39 + 16 On a dit que une régle de calcul qui est de réduire au meme dénominateur
10 20Nombres Rationnels
Les Nombres rationnels sont données sous forme de fractions (Numérateur & Dénominateur) et comme rappel on sait tous que les fractions pour etre additionnées ou déduites les uns des autres
il faut qu'ils soient réduites au meme dénominateur.
donc a Chaque fois que nous avons une addition ou une soustraction des nombres rationnels nous avons intéret a décomposer les numérateurs et les dénominateurs pour aboutir soit a leur PGCD
pour réduire cette fraction en une fraction irréductible sinon faire le PPCM entre les dénominateurs
pour les réduire en conséquence.
Exemple :
624 PGCD Numérateur & Dénominateur = 16 ===> 624/16 = 39
160 160/16 10
s'il Nous a été demandé d'additionner notre précédente fraction a la fraction suivante : 16
20
on aura alors 624 + 16
160 20
Une partie du travail est déjà faite : 624/160 c'est réduit et on a comme résultat 39/10
Donc on aura 39 + 16 On a dit que une régle de calcul qui est de réduire au meme dénominateur
lorsqu'on est en présence d'une addition ou une soustraction de deux fractions et si cette opération n'est pas visible on doit recourir a la détermination des PGCD de chaque fraction Numérateur et dénominateur
Ici les choses sont visibles c'est a dire pour la deuxième fraction on doit voir si on peut diviser 20 par deux et c'est divisible heureusement et aussi le numérateur donc On aura : 39 + 16/2 <==>
10 20/2
39 + 8 = 47
10 10 10Généralité:
Tout Nombre premier autre que 2 est un Nombre Impaire.
Exemple : 3 est un Nombre premier
5 est un Nombre premier
7 est un Nombre Premier
Exercice d'application 1
a = 225
b= 60
Tout Calculs faits 225 = 3² x 5²
et 60 = 2² x 3 x 5
PGCD (a , b ) = 3 x 5 = 15
PPCM (a , b) = 3² x 5² x 2² = 900
Si on a les éléments a et b sous forme de fraction tel que a donc 225 : 15 = 15
b 60 : 15 4
Exercice d'application 2
a = 315 b = 294
après Développement
315 = 3² x 5 x 7 et 294 = 2 x 3 x 7²
PGCD ( 315 , 294 ) = 3 x 7 = 21
PPCM (315 , 294 ) = 3² x 5 x 7² x 2 = 4410
Exercice1
Calculer le PGCD des
nombres suivants par la méthode de décomposition en facteur premier
a) 75 et 180 b) 720
et 368
et Puis en deduire les PPCM
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